A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,OA⊥OB

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/15 00:17:42
A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,OA⊥OB
求证：1/OA^2 +1/OB^2为定值
求：1/OA + 1/OB的最大值
问题补充：最好用极坐标和直角坐标两种方法解

设OA的所在直线方程为y=kx,则OB所在直线方程为y=-x/k;
它们与椭圆的交点A、B坐标（xa,ya)、(xb,yb)满足
xa^2=1/[1/a^2+k^2/b^2]
ya^2=k^2/[1/a^2+k^2/b^2]
xb^2=1/[1/a^2+1/(k^2b^2)]
yb^2=1/[k^2/a^2+1/b^2]
OA^2=xa^2+ya^2=(1+k^2)/[1/a^2+k^2/b^2]
OB^2=xb^2+yb^2=(1+1/k^2)/[1/a^2+1/(k^2b^2)]
1/OA^2+1/OB^2=[1/a^2+k^2/b^2]/(1+k^2)+[1/a^2+1/(k^2b^2)]*k^2/(1+k^2)
=1/a^2+1/b^2为定值。

设s=1/OA + 1/OB
s^2=(1/OA + 1/OB)^2=1/OA^2+1/OB^2+2/(OA*OB)
因1/OA^2+1/OB^2=1/a^2+1/b^2 为定值，
2（1/OA ）*（1/OB）<=1/OA^2+1/OB^2
s^2<=2(1/a^2+1/b^2)
s<=√[2(1/a^2+1/b^2)]
即，1/OA + 1/OB的最大值 为√[2(1/a^2+1/b^2)]

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